Zadanie nr 9652528

Szkicujemy opisaną sytuację – dany okrąg to oczywiście okrąg o środku i promieniu . W szczególności jest on styczny do pionowej prostej – ta obserwacja przyda nam pod koniec rozwiązania.

Spróbujemy napisać równania prostych zawierających boki i trójkąta . Obie te proste przechodzą przez punkt , czyli mają równanie postaci

Współczynnik możemy wyznaczyć z faktu, że odległość środka okręgu wpisanego w trójkąt od każdej z tych prostych jest równa równa . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :

Mamy zatem

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Otrzymujemy wtedy odpowiednio proste

i

Jeżeli dość dokładnie naszkicujemy obie proste w układzie współrzędnych, to będzie widać, że trudno jest odtworzyć trójkąt jeżeli punkt miałby być punktem wspólnym danej dwusiecznej i prostej . Przyczyną tego problemu jest fakt, że w tym przypadku kąt jest większy od , co oznaczałoby, że kąt jest większy od , a to oczywiście nie jest możliwe. Aby precyzyjnie uzasadnić kluczową obserwację w tym rozumowaniu – że kąt , patrzymy na współczynniki kierunkowe obu prostych. Prosta tworzy z osią kąt , dla którego

Prosta prostopadła do tej prostej będzie mieć współczynnik kierunkowy

co oznacza, że prosta jest bardziej pozioma, niż prosta prostopadła do dwusiecznej . Zatem rzeczywiście w tym przypadku mielibyśmy , co nie jest możliwe.

W takim razie prosta ma równanie i współrzędne punktu są rozwiązaniem układu równań

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

Stąd i . W szczególności punkt leży na pionowej prostej , która jak wcześniej zauważyliśmy jest styczna do danego okręgu wpisanego w trójkąt . W takim razie ta prosta to dokładnie prosta zawierająca bok trójkąta . To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne punktu – podstawiamy do równania prostej .

Zatem .  
Odpowiedź: ,