/Konkursy/Zadania

Zadanie nr 9893399

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC . Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC |2 − |AC |2 = |AB |⋅|AC | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

ZINFO-FIGURE

Przy oznaczeniach rysunku, mamy udowodnić, że

a2 − b 2 = bc.

Na mocy twierdzenia sinusów mamy

--b-- --a--- -----a------ sin β = sin 2β = 2 sin β cosβ a 2 cosβ = -. b

Sposób I

Jeszcze raz korzystamy z twierdzenia sinusów.

--b--= -------c------- = --c--- sinβ sin(180 ∘ − 3 β) sin 3β csinβ = b sin 3β = b(sin β cos2β + sin 2β cosβ ) = = b(sinβ (2co s2β − 1) + 2sin β cosβ cos β) / : sin β ( ) c = b(2 cos2β − 1 + 2 cos2β ) = b 4co s2β − 1 = ( 2 ) 2 = b a--− 1 = a--− b / ⋅b b 2 b 2 2 bc = a − b .

Sposób II

Piszemy twierdzenie cosinusów.

a 2c b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ = a2 + c2 − ---- b 2 2 2 a2c- 2 2 2 a2c- 0 = a − b + c − b = (a − b − bc) + c + bc− b = 2 2 c 2 2 2 2 ( c ) = (a − b − bc) + -(bc + b − a ) = (a − b − bc) 1 − -- . b b

Jeżeli teraz b ⁄= c , to mamy tezę. Jeżeli natomiast b = c , to

β = ∡ACB = 18 0∘ − 3β ⇒ β = 45∘

i trójkąt ABC jest połówką kwadratu. Wtedy b = c , √ -- a = c 2 i

2 2 2 2 2 a − b − bc = 2c − c − c = 0 .

Sposób III

Tym razem dorysujmy dwusieczną AD i oznaczmy CD = x . Trójkąt ABD jest równoramienny, więc

AD = BD = a− x.

Ponadto

∡CDA = 180∘ − ∡ADB = 2β ,

więc trójkąt ADC jest podobny do trójkąta BAC (mają takie same kąty). Stąd

x b b2 --= -- ⇒ x = --- b a a a-−-x- c- bc- b = a ⇒ a − x = a .

Mamy zatem

bc b2 a--= a − x = a− a-- / ⋅a 2 2 bc = a − b .
Wersja PDF