Zadanie nr 1296836
Prosta o równaniu zawiera jedną z dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta , w którym i . Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie
Sprawdzamy najpierw, że żaden z podanych punktów nie leży na podanej dwusiecznej – jest to więc dwusieczna kąta przy wierzchołku . Szkicujemy teraz opisaną sytuację.
Pole trójkąta będzie łatwe do obliczenia, jeżeli będziemy znali współrzędne jego trzeciego wierzchołka . Obliczymy te współrzędne na dwa sposoby.
Sposób I
Dwusieczna kąta jest jego osią symetrii, więc jeżeli odbijemy prostą względem podanej dwusiecznej, to otrzymamy prostą . Ta obserwacja pozwala napisać równanie prostej – jest to prosta przechodząca przez punkt i punkt będący obrazem punktu w symetrii względem dwusiecznej . Aby wyznaczyć obraz punktu w tej symetrii piszemy najpierw równanie prostej prostopadłej do dwusiecznej i przechodzącej przez punkt . Jest to prosta postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .
Prosta ma więc równanie . Wyznaczmy jej punkt wspólny z dwusieczną .
Dodajemy równania układu stronami i mamy
Stąd
i . Punkt jest środkiem odcinka , więc
Teraz możemy napisać równanie prostej , czyli prostej . Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Dodajemy równania układu stronami i mamy
Stąd i prosta ma równanie . Szukamy teraz punktu wspólnego danej dwusiecznej i prostej .
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd i . Pozostało obliczyć pole trójkąta . Korzystamy ze wzoru
Mamy zatem
Sposób II
Tym razem zacznijmy od wyznaczenia równania prostej . Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
Stąd i prosta ma równanie . Wyznaczmy teraz jej punkt wspólny z daną dwusieczną.
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd
i Korzystamy teraz z twierdzenia o dwusiecznej
Ta informacja pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu . Wiemy, że leży on na danej dwusiecznej, więc ma współrzędne postaci . Ponadto
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
Drugie rozwiązanie da nam współrzędne punktu , więc i
Pole trójkąta możemy obliczyć tak jak w poprzednim sposobie, ale możemy też zrobić to bardziej bezpośrednio – ze wzoru na odległość od prostej. Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę jest równa
Obliczmy jeszcze długość podstawy
Pole trójkąta jest więc równe
Odpowiedź: