Zadanie nr 8283353
Dane są prosta o równaniu i prosta o równaniu . Punkt leży na prostej o równaniu . Odległość punktu od prostej jest trzy razy większa niż odległość punktu od prostej . Oblicz współrzędne punktu .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Jeżeli punkt leży na prostej , to ma współrzędne postaci . Zapiszemy teraz informację o odległościach tego punktu od prostych i . Skorzystamy przy tym ze wzoru na odległość punktu od prostej :
Mamy zatem równanie
Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.
Sposób I
Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.
Stąd odpowiednio
i lub .
Sposób II
Podnosimy otrzymane równanie stronami do kwadratu – w ten sposób pozbędziemy się wartości bezwzględnych.
Pozostało rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe
Stąd odpowiednio
i lub .
Odpowiedź: lub