/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny

Zadanie nr 2891733

W czworościanie ABCD krawędź BD ma długość 2, a wszystkie pozostałe krawędzie mają długość 4.

PIC

  • Oblicz odległość krawędzi BD od krawędzi AC .
  • Wiedząc, że punkt O jest równoodległy od wszystkich wierzchołków czworościanu, oblicz długość odcinka OD .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Jedno z tych zadań, gdzie wszystko sprowadza się do wykonania dobrego rysunku.

PIC

  • Aby znaleźć odległość krawędzi AC i BD musimy znaleźć odcinek, który jest prostopadły do każdej z nich. Na naszym rysunku będzie to odcinek ML , gdzie M jest środkiem krawędzi AC . Jest on wysokością w trójkącie równoramiennym BMD , więc jest prostopadły do BD . Ponadto płaszczyzna BMD jest prostopadła do AC , więc jest on też prostopadły do AC . Długość tego odcinka łatwo wyliczyć z trójkąta prostokątnego DML .
    √ -- √ -- MD = 4---3 = 2 3 2 ∘ ------------ ∘ ----2------2- √ --2 √ ------- √ --- ML = MD − DL = (2 3) − 1 = 12 − 1 = 11.

     
    Odpowiedź: √ --- 11

  •  

    Sposób I

    Zauważmy, że punkt O leży w płaszczyźnie BMD (bo jest równoodległy od wierzchołków A i C ). Leży on też na prostej ML , bo jest równoodległy od B i D . Ponadto jego rzut K na płaszczyznę ADC musi być środkiem trójkąta równobocznego ADC (bo jest równoodległy od wierzchołków A ,D ,C ), czyli

    √ -- 1- 2---3 MK = 3 MD = 3 √ -- KD = 2MD = 4--3-. 3 3

    No i zadanie przestało być przestrzenne. Jak popatrzymy na trójkąt równoramienny BMD , to znamy długości jego boków oraz odcinka MK , a mamy wyliczyć OD . Możemy tę długość łatwo wyliczyć z trójkąta prostokątnego ODK , ale najpierw potrzebujemy znać długość OK .

    Z podobieństwa trójkątów MLD i MKO mamy

    OK--= MK-- DL ML√- OK 2-3- ----= √3--- 1 11 2√ 3- OK = -√---- 3 11

    No i pozostało zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ODK

    ┌│ (-------)----(------)-- ∘ ------------ │ 4√ 3 2 4√ 3 2 OD = OK 2 + KD 2 = ∘ -√---- + ----- = 3 1 1 3 ∘ --------- ∘ ---- ∘ --- = -4-+ 16-= 180-= 2 15- 3 3 3 33 11

    Sposób II

    Tym razem obróćmy sobie dany czworościan tak, aby w podstawie był trójkąt równoramienny.

    PIC

    Zauważmy, że punkt O musi leżeć na płaszczyznach prostopadłych do krawędzi AD ,DB ,BA i przechodzących przez ich środki. Ponieważ trójkąty ADC ,DBC i BAC są równoramienne, płaszczyzny te przechodzą przez wierzchołek C oraz przecinają się wzdłuż wysokości CS czworościanu. W dodatku spodek S tej wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ADB (bo wspomniane płaszczyzny zawierają symetralne boków trójkąta ADB , można też skorzystać z tego, że AC = DC = BC ). W takim razie szukaną odległość OD = OC = OA = x możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ASO , o ile wyliczymy promień R okręgu opisanego na trójkącie ADB i wysokość H = CS .

    Promień R okręgu opisanego na ADB można wyliczyć na różne sposoby, my zastosujemy twierdzenie sinusów. Mamy

    ∘ ------------- √ ------- √ --- AN = AD 2 − DN 2 = 16 − 1 = 15 √ --- sin α = AN--= --15- AD 4 AB 4 16 2R = ----- = √15-= √---- sin α -4-- 15 8 R = √----. 15

    Teraz łatwo możemy wyliczyć wysokość H .

    -------- --- ∘ ------------ ∘ 64 ∘ 11 H = CS = AC 2 − AS 2 = 16 − ---= 4 --. 15 15

    Teraz patrzymy na trójkąt ASO

    R 2 + (H − x)2 = x2 R 2 + H 2 − 2Hx + x 2 = x2 2 2 64 176 √ --- ∘ --- x = R--+-H---= 15 +∘-15-= 30-⋅ √-15-= 2 15-. 2H 11 15 11 11 8 15

     
    Odpowiedź: --- ∘ 15 2 11

Wersja PDF