Zadanie nr 6290311
Krótsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Przekątna ściany bocznej ma długość .
- Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
- Oblicz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka.
Rozwiązanie
Zaznaczmy na rysunku kąt nachylenia przekątnej i dorysujmy przekątne podstawy.
- Zauważmy, że przekątne dzielą sześciokąt w podstawie na 6 trójkątów równobocznych i odcinek ma długość dwa razy większą od wysokości tych trójkątów. Jeżeli więc oznaczymy przez długość krawędzi podstawy, to
Oznaczmy przez wysokość ostrosłupa i popatrzymy na trójkąt prostokątny .
Pozostało teraz wykorzystać podaną informację o długości przekątnej ściany bocznej – patrzymy na trójkąt prostokątny .
Objętość graniastosłupa jest równa
Pole powierzchni całkowitej jest równe
Odpowiedź: , - Cosinus interesującego nas kąta obliczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie równoramiennym . Długość ramienia tego trójkąta obliczamy z trójkąta prostokątnego .
Ponadto
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Odpowiedź: