Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt . Prosta przechodząca przez punkty i przecina okrąg opisany na trójkącie w punkcie . Wykaż, że trójkąt jest równoramienny.
/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Różne
Obwód trójkąta jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta .
Dany jest trójkąt , w którym . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest środkiem odcinka . Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła bok w punkcie . Wykaż, że długość odcinka jest równa .
Dany jest trójkąt oraz punkt na jego boku taki, że . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest punktem wspólnym odcinków i . Wykaż, że punkt jest środkiem odcinka .
W trójkącie na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi , w ten sposób, że do okręgu należą punkty , do – punkty , a do – punkty . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.
Okrąg przechodzi przez wierzchołek trójkąta i przecina jego boki i odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez wierzchołek , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie .
Wewnątrz trójąta obrano punkt odległy od prostych i odpowiednio o . Wykaż że
gdzie jest polem trójkąta, a promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów zachodzi równość?
Odcinek jest środkową trójkąta . Udowodnij, że .
Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.
W trójkącie , o bokach długości , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że i . Uzasadnij, że jeżeli , to (twierdzenie Stewarta).
Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku trójkąta jeżeli i pole trójkąta jest równe .
W trójkącie kąt jest dwa razy większy od kąta . Wykaż, że prawdziwa jest równość .