Dowolny/Czworokąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Czworokąt AF EC jest wpisany w okrąg i jego przekątna przecina okrąg opisany na trójkącie ACD w punkcie (zobacz rysunek).

Zachodzi ponadto równość |∡BF E | = |∡CDB | . Udowodnij, że punkty F ,B i są współliniowe.

Przekątne podzieliły czworokąt na 4 trójkąty.

Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta ABS .

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że jeżeli odcinki i są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Wierzchołki rombu EF GH leżą na bokach trójkąta ABC , przy czym boki i F G są równoległe do środkowej trójkąta ABC (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku rombu EF GH jeżeli |AB | = 1 6 i |CD | = 6 .

Na czworokącie wypukłym ABCD można opisać okrąg. Wiadomo, że √ -- √ -- |AB | = |BC |, |AD | = 2 3, |DC | = 3− 3 oraz przekątna √ -- |AC | = 3 2 . Oblicz pole tego czworokąta.

W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD . Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że |AB | = |BC | , |∡ADC | = 120∘ i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2:1.

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe.

Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
Wykaż, że jeżeli długości jego boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.

Wykaż, że jeżeli dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego są prostopadłe, to czworokąt ten jest trapezem.

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB | = 2 , √ -- |BC | = 3 , |CD | = 3 , |DA | = 4 i |∡DAB | = 60 ∘ . Oblicz pole tego czworokąta.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 .

Oblicz .
Oblicz pole czworokąta .

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 6 , |CE | = 3 i |DE | = 2 . Ponadto |AD | = |CD | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD oraz promień opisanego na nim okręgu.

W czworokącie wypukłym ABCD , długości boków AB ,BC ,AD ,DC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym |AD | = |AB | = |BC | = a , |∡BAD | = 60∘ i |∡ADC | = 135∘ . Oblicz pole czworokąta ABCD .

Boki i czworokąta ABCD wpisanego w okrąg są równe przekątnej . Kąt ∡BAD ma miarę 80∘ . Znajdź miary pozostałych kątów czworokąta ABCD .

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają prostokąt, czy można stwierdzić, że czworokąt jest rombem?
Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają romb, czy można stwierdzić, że czworokąt jest prostokątem?
Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają kwadrat, czy można stwierdzić, że czworokąt jest kwadratem?

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem – kąt ostry, którego sinus jest równy . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 7 2 . Kąt ADC tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o 15 ∘ większa od miary kąta BAD . Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD jest równy 3 8 . Oblicz długości przekątnych i tego czworokąta.

Na czworokącie wypukłym ABCD , w którym |AB | = |BC | , √ -- |AD | = 2 3 , √ -- |DC | = 3 − 3 można opisać okrąg. Wiedząc, że przekątna ma długość √ -- 3 2 , oblicz pole tego czworokąta.

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 3⋅|DE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Ukryj Podobne zadania

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 9. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że |DE | = 5 ⋅|BE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie , przy czym punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej (zobacz rysunek).

Wykaż, że |∡ABC |− |∡ADC |+ 2 ⋅|∡AEC | = 3 60∘ .

Strona 2 z 4