/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 6014766

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V = 2 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy, a przez wysokość graniastosłupa.

ZINFO-FIGURE

Z podanej objętości mamy

√ -- √ -- a2--3- --8--- 8---3 2 = 4 ⋅H ⇒ H = a2√ 3-= 3a2 .

Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej.

2√ -- 2√ -- √ -- √ -( 2 ) Pc = 2⋅ a---3+ 3aH = a----3+ 8--3-= 3 a--+ 8- . 4 2 a 2 a

Aby otrzymać najmniejsze pole całkowite musimy więc wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość funkcji f(a) = a2-+ 8 2 a określonej dla a ∈ (0,+ ∞ ) . Liczymy pochodną

′ 8-- a3 −-8 f (a) = a− a2 = a2 .

Widać teraz, że pochodna jest ujemna dla a ∈ (0 ,2 ) i dodatnia dla a ∈ (2,+ ∞ ) . To oznacza, że funkcja jest malejąca w przedziale (0,2⟩ i rosnąca w przedziale ⟨2,+ ∞ ) . Najmniejsze pole otrzymamy więc dla a = 2 . Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa