Zadanie nr 6262289

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f (x) = 271x4 dla x ⁄= 0 . Punkty i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem g(x) = − 2x4 − 7 5 9 i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka , dla którego pole prostokąta ABCD jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli ( -1--) A = x,27x4 dla x > 0 , to ( -1-) B = −x , 27x4 , ( 2 4 7) C = −x ,− 5x − 9 , D = (x ,− 2x4 − 7) 5 9 . Boki prostokąta mają więc długości

AB = xA − xB = 2x BC = yB − yC = -1---+ 2-x4 + 7. 27x4 5 9

Pole prostokąta ABCD jest więc równe

( 1 2 7) 2 4 14 P(x) = AB ⋅BC = 2x ⋅ -----+ --x4 + -- = ---3-+ --x5 + --x , 27x4 5 9 27x 5 9

dla x > 0 . Musimy teraz wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji, więc liczymy jej pochodną.

2 14 − 2+ 36x8 + 14x 4 18x 8 + 7x 4 − 1 P′(x) = − ---4 + 4x4 + ---= ---------4--------= 2 ⋅--------4------. 9x 9 9x 9x

Rozłóżmy jeszcze wielomian w liczniku – podstawiamy t = x4 i mamy trójmian kwadratowy

2 0 = 18t + 7t− 1 Δ = 49 + 72 = 1 21 = 112 t = −-7-−-11-= − 1- lub t = −-7-+-11-= -4-= 1. 36 2 36 36 9

Mamy zatem

( 4 1 )( 4 1) ′ 18x 8 + 7x 4 − 1 18 x + 2 x − 9 P (x) = 2 ⋅--------4------ = 2 ⋅------------4---------= ( 9x) ( ) ( ) 9x x4 + 12 x2 + 13 x2 − 13 = 4 ⋅--------------4--------------= ( ) ( x ) ( √- )( √ -) x4 + 1 x2 + 1 x− -3- x + --3 = 4 ⋅-------2--------3---------3---------3--. x4

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale ( √ 3) 0,-3- i dodatnia w przedziale (√-3 ) 3 ,+ ∞ . To oznacza, że funkcja y = P (x) jest malejąca w przedziale ( √3⟩ 0, 3 i rosnąca w przedziale ⟨ √3- ) 3 ,+ ∞ . W takim razie najmniejszą wartość pola otrzymamy dla √ - x = --3 3 . Mamy wtedy