Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9802980

Do naczynia w kształcie odwróconego stożka wrzucono kulkę o promieniu r = 3 cm . Oceń, czy kulka będzie wystawać nad brzeg naczynia. Uzasadnij odpowiedź wykonując odpowiednie obliczenia, jeżeli wiadomo, że wysokość stożka wynosi 12 cm a promień podstawy 4 cm.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku – rysujemy przekrój osiowy opisanej sytuacji.


PIC


Sposób I

Ułóżmy najpierw plan działań. Jeżeli oznaczmy przez 2α kąt rozwarcia stożka, to z podanych wysokości i promienia będziemy mogli wyliczyć funkcje trygonometryczne kąta α (lewy obrazek). To z kolei pozwoli obliczyć długość odcinka OA (prawy rysunek), a w konsekwencji też AE . Na koniec sprawdzimy, czy AE > 12 , czy też nie – od tego będzie zależała odpowiedź.

Liczymy. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC mamy

 ∘ ------------ √ --------- √ ---- √ --- AB = AC 2 + BC 2 = 1 44+ 16 = 160 = 4 10.

Zatem

sin α = BC-- = -√4----= √-1--. AB 4 10 1 0

Teraz patrzymy na trójkąt ADO na prawym obrazku.

DO-- DO--- -3-- √ --- AO = sinα ⇒ AO = sin α = √1-- = 3 10 . 10

Zatem

 √ --- AE = AO + 3 = 3 10+ 3 > 3 ⋅3+ 3 = 12.

Zatem kulka będzie wystawać ze stożka.

Sposób II

Tym razem postąpimy inaczej: obliczmy promień kuli wpisanej w stożek o podanych wymiarach i sprawdzimy, czy promień ten jest większy, czy też mniejszy od 3 cm.

Patrzymy na trójkąt równoramienny otrzymany w przekroju stożka. Jego pole jest równe

 1- P = 2 ⋅8 ⋅12 = 48.

Korzystamy teraz ze wzoru na pole P = pr , gdzie p jest połową obwodu, a r promieniem okręgu wpisanego.

 ∘ --------- ∘ ------- √ --- AB = 1 22 + 42 = 4 32 + 1 = 4 10. √ --- √ --- √ --- p = 1-(8+ 4 10 + 4 10) = 4+ 4 10 2 P 48 12 1 2 r = p-= -----√----= ----√----< ----√---= 3. 4 + 4 10 1 + 10 1 + 9

W takim razie kulka o promieniu 3 cm nie zmieści się w tym stożku.  
Odpowiedź: Kulka będzie wystawać ponad brzeg naczynia.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!