/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Nierówności z pierwiastkami

Zadanie nr 4066757

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 − x + m = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x 1,x 2 spełniające warunek (x21 − x22)(x 31 − x 32) < 637 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

1 0 < Δ = 1 − 4m ⇐ ⇒ m < -. 4

Przy tym założeniu możemy napisać wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = 1 x1x 2 = m.

Spróbujemy teraz przekształcić lewą stronę podanej nierówności, tak aby móc skorzystać ze wzorów Viète’a. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Zauważmy, że

(x2− x2)(x3 − x3) = (x1 − x2)(x 1 + x 2)(x1 − x2)(x2+ x1x2 + x2) = 1 2 1 ( 2 ) 1 2 = (x1 − x2)2 (x1 + x2)2 − x1x2 = (x21 + x22 − 2x1x2)(1 − m ) = = ((x1 + x2)2 − 4x1x2)(1 − m ) = (1 − 4m )(1 − m ) = 1 − 5m + 4m 2.

Pozostało teraz rozwiązać nierówność

1 − 5m + 4m 2 < 637 2 4m − 5m − 636 < 0 Δ = 25 + 4 ⋅4⋅6 36 = 1020 1 = 1012 m = 5-−-10-1 = − 96-= − 12 lub m = 5-+-101-= 10-6 = 53- ( 8 ) 8 8 8 4 53- m ∈ −1 2, 4 .

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy stąd

( ) m ∈ − 1 2, 1 . 4

Sposób II

Zauważmy najpierw, że

2 2 2 x1 + x2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = 1 − 2m .

Przekształcamy teraz lewą stronę danej nierówności. Zauważmy, że

2 2 3 3 5 2 3 2 3 5 5 5 2 2 (x1 − x2)(x1 − x2) = x 1 − x 1x2 − x2x1 + x2 = (x1 + x2) − x1x 2(x1 + x2) = = (x1 + x2)(x41 − x31x 2 + x 21x22 − x1x32 + x42)− m 2 = 4 4 2 2 2 2 = (x1 + x2 − x1x2(x 1 + x 2)+ (x 1x2) )− m = = ((x2 + x2)2 − 2x2x 2− m (1 − 2m )+ m 2)− m 2 = 1 2 1 2 = (1 − 2m )2 − 2m 2 − m + 2m 2 = 1 − 5m + 4m 2.

Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: ( ) m ∈ − 12, 1 4

Wersja PDF