Zadanie nr 3321019
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto i . Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu . Ponadto . Oblicz .
Rozwiązanie
Spróbujmy najpierw rozszyfrować ciąg geometryczny . Wiemy, że
Stąd i
W szczególności
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa
Z drugiej strony, ta suma jest równa
W połączeniu z obliczoną wcześniej wartością otrzymujemy stąd
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd
Odpowiedź: