/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Własności liczb

Zadanie nr 2918831

Oblicz sumę wszystkich liczb czterocyfrowych, które przy dzieleniu przez 23 dają resztę 7.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby znaleźć najmniejszą i największą z tych liczb zauważmy, że 1 000/2 3 ≈ 43,5 i 99 99/23 ≈ 434,7 . Zatem najmniejszą liczbą będzie a1 = 44 ⋅23 + 7 = 10 19 , a największą an = 4 34⋅2 3+ 7 = 9989 .

Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 23. Obliczmy ile ma on wyrazów. Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

an = a1 + (n − 1)r 9989 = 1 019+ (n − 1)⋅ 23 8970 = 2 3(n− 1) / : 23 n− 1 = 390 ⇒ n = 39 1.

Interesująca nas suma jest więc równa

a + a 1019 + 9 989 --1---n-⋅n = ------------ ⋅391 = 5 504⋅ 391 = 215 2064. 2 2

 
Odpowiedź: 2 152 064

Wersja PDF