Zadanie nr 3614562
Dla jakich wartości parametru równanie ma dokładnie trzy różne rozwiązania?
Rozwiązanie
Zapisując równanie w postaci
widzimy, że równanie ma zawsze pierwiastek . Jeżeli podstawimy to pozostaje do zbadania równanie
Aby wyjściowe równanie miało dokładnie trzy pierwiastki, powyższe równanie kwadratowe musi mieć dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Sprawdźmy najpierw kiedy to równanie kwadratowe ma w ogóle pierwiastki
Żeby uniknąć kłopotów z zerowym pierwiastkiem, od razu osobno zobaczmy kiedy jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Tak będzie dla lub . Mamy wtedy odpowiednio równania
Pierwsze równanie nie ma dodatniego pierwiastka, ale za to drugie ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni, więc musimy pamiętać o tym, że spełnia warunki zadania.
Zauważmy jeszcze, że w sytuacji gdy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli dla , współczynnik przy jest ujemny, czyli jedyny pierwiastek jest dodatni. Zatem też spełnia warunki zadania.
Pozostała nam sytuacja gdy są dwa niezerowe pierwiastki. Aby dokładnie jeden z nich był dodatni, muszą być one różnych znaków, czyli na mocy wzorów Viète’a,
W połączeniu z warunkiem na -ę i wyżej rozpatrzonymi przypadkami, daje nam to
Odpowiedź: