Zadanie nr 2934161
W deltoidzie dane są , oraz . Oblicz długość przekątnej tego deltoidu.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku – ponieważ osią symetrii deltoidu musi być przekątna . W szczególności ta przekątna jest dwusieczną kąta .
Oznaczmy oraz .
Sposób I
Dorysujmy dwusieczną i niech . Trójkąt jest równoramienny, więc . Ponadto
To oznacza, że trójkąty i mają równe kąty, więc są podobne. Z tego podobieństwa mamy
Z drugiej równości mamy i wtedy z pierwszej równości mamy
Sposób II
Spróbujemy obliczyć długość przekątnej z twierdzenia cosinusów, ale najpierw obliczymy . Z twierdzenia sinusów w trójkącie mamy
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów
Odpowiedź: