/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość i pole

Zadanie nr 9131638

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Opiszmy trochę dokładniej dany rysunek.

Trójkąt PRS jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości SR = 6 , więc

H = SP = 1SR = 3 -2 SR √ 3 √ -- P R = -------= 3 3. 2

Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość

√ -- a = AB = 2P R = 6 3.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1 2 1 √ --2 V = --a ⋅H = -⋅ (6 3) ⋅3 = 36⋅ 3 = 108. 3 3

Pole powierzchni całkowitej jest równe

2 1- Pc = Pp + Pb = a + 4 ⋅2 a⋅ SR = √ -- √ -- = 36 ⋅3 + 2⋅ 6 3⋅ 6 = 108 + 72 3 .

Odpowiedź: Objętość: 108, pole powierzchni: √ -- 10 8+ 7 2 3

Wersja PDF