Zadanie nr 4913698

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

x 3 + 3x 2 − m2x + (m 2 − 4) = 0

ma trzy różne pierwiastki, z których jeden jest ujemny, a pozostałe dwa należą do przedziału [ ] 1 2 ,5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najtrudniejsze w tym zadaniu, to znaleźć punkt zaczepienia – żeby w ogóle zacząć coś liczyć. Jeżeli chwilę pobawimy się danym równaniem, to można zauważyć, że suma współczynników przy –ach jest równa 0. To oznacza, że x = 1 jest jednym z pierwiastków tego równania. Dzielimy więc lewą stronę przez (x − 1 ) . My jak zawsze zrobimy to grupując wyrazy.

( ) ( ) x3 + 3x2 − m 2x+ (m 2 − 4 ) = x3 − x2 + 4x2 − 4x − (m 2 − 4)x + (m 2 − 4) = = x2(x − 1) + 4x(x − 1) − (m 2 − 4)(x − 1) = 2 2 = (x + 4x − (m − 4 ))(x− 1).

Teraz sprawa jest już dużo prostsza, bo pozostała nam analiza trójmianu w pierwszym nawiasie. Wyjściowe równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, więc trójmian musi mieć dwa różne pierwiastki i żaden z nich nie może być równy 1. Sprawdźmy najpierw, kiedy x = 1 jest pierwiastkiem tego trójmianu.

0 = 1 + 4 − (m 2 − 4) = 9 − m 2 = (3− m )(3+ m).

Musi więc być m ⁄= ± 3 . Liczymy teraz –ę.

2 2 2 Δ = 16+ 4(m − 4) = 4m = (2m ) .

Równanie kwadratowe ma więc dwa różne pierwiastki jeżeli m > 0 . Przy tym założeniu łatwo obliczyć te pierwiastki

−-4-−-2m- −4-+-2m-- x = 2 = − 2 − m lub x = 2 = − 2+ m

(zauważmy, że gdybyśmy za pierwiastek z –y wzięli − 2m , to otrzymalibyśmy dokładnie te same pierwiastki).

Teraz w sumie jest prosta sprawa – mniejszy z tych pierwiastków ma być ujemny, a większy ma być w przedziale [ ] 12,5 . Niestety nie wiemy jaki jest znak , więc nie wiemy który z tych pierwiastków jest większy, a który jest mniejszy. Rozważmy więc dwa przypadki.