Ciągi/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 < 0 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność S ≥ 9a2 − 3a1 . Wykaż, ze 3a2023 = 2a2022 .

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 , są ciągami arytmetycznymi. Ciąg (cn) jest określony wzorem cn = anbn , dla n ≥ 1 , a ciąg (dn) ciągiem różnic dwóch kolejnych wyrazów ciągu (cn) : dn = cn+ 1 − cn , dla n ≥ 1 . Wykaż, że ciąg (dn ) jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica jest równa podwojonemu iloczynowi różnic ciągów (an) i (bn) .

Wyraz ogólny ciągu (an) dany jest wzorem 2n−7- an = n+1 , gdzie n ≥ 1 .

Który wyraz ciągu równa się ?
Ile wyrazów danego ciągu należy do przedziału ?
Które wyrazy tego ciągu przyjmują wartości całkowite?

Liczby 2 2x− 2,x i 4x − 2 tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny i są trzema początkowymi wyrazami czterowyrazowego ciągu (an) . Oblicz czwarty wyraz ciągu (an) , wiedząc że liczby a2,a3 i są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.

Kulę o promieniu przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Przekroje mają promienie oraz i są odległe od siebie o . Liczby r1,a,r2 w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 18. Znajdź długość promienia kuli.

Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym, w którym a51 = 1 oraz wyrażanie a23a37 ma najmniejszą możliwą wartość. Wyznacz .

Wyznacz te wartości , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego

8, 4x, 2x 2, ...

Dla jakich wartości i liczby 2 x + y,x oraz y + 2 są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?

Ukryj Podobne zadania

Dla jakich wartości i liczby 2 a− b,a oraz 2− b są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym iloraz jest dwa razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Wyznacz liczby oraz , dla których ciąg (a,b ,1 ) jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (1 ,a,b) jest ciągiem geometrycznym.

Ukryj Podobne zadania

Ciąg (2 ,x,y− 2) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x ,y,16) jest geometryczny. Oblicz oraz i podaj ten ciąg geometryczny.

Ciąg (1 ,x,y− 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x ,y,12) jest geometryczny. Oblicz oraz i podaj ten ciąg geometryczny.

Oblicz granicę ( n2-- (n+2)2) nl→im+∞ n+2 − n+ 444 .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz granicę ( n2-- (n+1)2) nl→im+∞ n+1 − n+ 579 .

Oblicz granicę ( (n+-1)2- n2+5-) nl→im+∞ n+2 − n+1 .

Oblicz granicę ( (n+-2)2- n2+1-) nl→im+∞ n+3 − n+2 .

Oblicz granicę ( n2-- (n−2)2) nl→im+∞ n−2 − n+ 333 .

Oblicz granicę ( n2-- (n+2)2) nl→im+∞ n+2 − n+ 257 .

Oblicz granicę ( (n+-3)2- n2+1-) nl→im+∞ n+2 − n+3 .

Oblicz granicę ( n2-- (n−1)2) nl→im+∞ n−1 − n+ 457 .

Oblicz granicę ( (n−-3)2- n2+1-) nl→im+∞ n+2 − n−3 .

Oblicz granicę ( (n−-2)2- n2+1-) nl→im+∞ n+3 − n−2 .

Podstawy czterech logarytmów liczby tworzą ciąg geometryczny o ilorazie . Wyznacz pierwszy z tych logarytmów jeśli jest on mniejszy od -1 oraz suma dwóch pierwszych logarytmów jest równa sumie dwóch pozostałych

Długości boków trójkąta , , (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyraź w procentach jaką część wysokości trójkąta poprowadzonej na bok długości stanowi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Oblicz granicę (n+2) lim 1+2+2⋅⋅⋅+n- n→ +∞ .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz granicę (n+3) lim 2+4+-2⋅⋅⋅+-2n n→ +∞ .

Oblicz granicę (n+1) lim 1+3+-⋅⋅2⋅+-(2n−-1) n→ +∞ .

Oblicz granicę 1+3+-⋅⋅⋅+-(2n−-1) nl→im+∞ (n+1) 2 .

Oblicz granicę 2+4+-⋅⋅⋅+-2n nl→im+∞ (n+3) 2 .

Oblicz granicę 1+2+-⋅⋅⋅+n- nl→im+∞ (n+2) 2 .

Wykaż, że jeżeli liczby b, c, 2b− a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby ab , b2, c2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Ciąg geometryczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Ilorazem tego ciągu jest liczba √ -- q = 3 , a iloczyn 5 początkowych wyrazów tego ciągu: , , a 3 , , jest równy − 7776 .

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Oblicz sumę pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu.

Wyznacz wyraz ogólny ciągu geometrycznego (an) , w którym 1 a4a5 = 3 oraz a8 = 181 .

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.

Suma czterech początkowych wyrazów ciągu (an) określonego dla n ≥ 0 jest równa (−1 2) . Ponadto dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 spełniony jest warunek lo g1 (an − an+1) = − 2 2 . Oblicz nieskończoną sumę