Planimetria/Geometria/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 oraz |AC | = 5,|BC | = 12 zbudowano kwadrat ACDE .

Punkt leży na prostej i kąt |∡EHA | = 90∘ . Oblicz pole trójkąta HAE .

Dwa okręgi o promieniach r = 2 i R = 6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej . Wykaż, że prosta przechodząca przez środki i tych okręgów przecina prostą pod kątem α = 30∘ (zobacz rysunek).

Sinus kąta CAB trójkąta równoramiennego ACB jest równy 4 5 . Pole kwadratu DEF G , wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 i √ -- sin ∡BAC = --10- 5 . Niech oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 2 .

W trójkącie ostrokątnym ABC bok ma długość , długość boku jest równa oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok trójkąta w punkcie i odcinek ma długość . Wykaż, że

α- -d- d-- co s2 = 2b + 2c.

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość , druga jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD . Punkty i są środkami boków i . Uzasadnij, że odcinki i są prostopadłe.

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt leży na boku tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Dany jest prostokąt o polu 2 72 cm . Gdyby zwiększyć długość jednego z boków o 2 cm, a drugi bok zmniejszyć o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Oblicz długości boków danego prostokąta.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest prostokąt o polu 2 1 44 cm . Gdyby zwiększyć długość jednego z boków o 8 cm, a drugi bok zmniejszyć o 3 cm, to pole nie ulegnie zmianie. Oblicz długości boków danego prostokąta.

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i w ten sposób, że punkty D ,E i są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i . Wykaż, że pole trójkąta DEF jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

W trójkącie ABC dane są AB = 1 0 , ∘ ∡A = 30 i ∘ ∡B = 4 5 . Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta o bokach 2 cm, 4 cm, 5 cm.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie , jego podstawy mają długości |AB | = 12 i |CD | = 9 , a wysokość trapezu ma długość 8. Punkt jest środkiem odcinka (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta CDK .

Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL , BCMN i CAOP (zobacz rysunek).

Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest pięć razy większe od pola trójkąta ABC , to suma pól kwadratów BCMN i CAOP też jest pięć razy większa od pola trójkąta ABC .

Punkt , będący punktem wewnętrznym trójkąta ABC , przekształcamy przez symetrię względem prostych zawierających boki AB , BC i otrzymując odpowiednio punkty P 1, P2 i . Udowodnij, że pole sześciokąta AP BP CP 1 2 3 jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

Oblicz sumę miar kątów utworzonych przez przekątne pięciokąta wypukłego.

Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości √ -- 2 2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45∘ i 30∘ . Oblicz pole trapezu.

Ukryj Podobne zadania

Krótsza podstawa trapezu ma długość √ -- 3 , a ramiona długości √ -- 3 2 i 6 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45∘ i 3 0∘ odpowiednio. Oblicz pole trapezu.

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek pola większego z tych okręgów do pola mniejszego jest równy 17 + 12 √ 2- .