/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/W geometrii/Trójkąt prostokątny

Zadanie nr 9581075

Długości boków trójkąta prostokątnego, którego obwód jest równy 24cm tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz

długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego;
wartość wyrażenia , gdzie i – miary kątów ostrych trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy boki trójkąta przez , to z podanych informacji mamy układ równań
$( | a + b + c = 2 4 { | 2b = a+ c ( a 2 + b2 = c2.$

Podstawiając za z drugiego równania do pierwszego, mamy

$3b = 24 ⇒ b = 8.$

Pozostają nam więc dwa równania

${ a + c = 16 a2 + 64 = c2.$

Podstawiamy do drugiego równania

$(16 − c)2 + 64 = c2 2 2 25 6− 32c+ c + 6 4 = c 32c = 320 c = 10 ⇒ a = 6.$

Aby obliczyć szukaną długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną, skorzystamy z dwóch wzorów na pole trójkąta

$1 1 P = -ch = --⋅10⋅ h = 5h 2 2 P = 1ab = 2 4 2 24 5h = 24 ⇒ h = 5-.$

Odpowiedź:
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że
$a- -6- 3- sin α = c = 10 = 5 b 8 4 co sα = --= ---= --. c 10 5$

Liczymy

$3 4 3 4 sinα + sin β− 2(sinα sinβ ) = --+ --− 2⋅ -⋅ --= 5 5 5 5 7- 24- 35- 24- 11- = 5 − 25 = 25 − 25 = 25.$

Odpowiedź:

Rozwiązanie Losuj ponownie