Zadanie nr 7722312

Dana jest funkcja kwadratowa 2 f (x) = x − 2(k + 7)x − k − 7 określona dla dowolnego x ∈ R . Wykaż, że jeżeli funkcja ma dwa różne miejsca zerowe: i , to miejscami zerowymi funkcji g(x ) = x2 + 2x − -1-- k+ 7 , określonej dla x ∈ R , są liczby 1- x1 i -1 x2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli k = − 7 , to

2 f(x ) = x

i funkcja ta nie ma dwóch różnych miejsc zerowych. Zatem k ⁄= −7 . W szczególności x1 ⁄= 0 i x2 ⁄= 0 .

Sposób I

Jeżeli liczby x ,x 1 2 są miejscami zerowymi funkcji y = f(x) , to liczby 1- x1 i 1- x2 są miejscami zerowymi funkcji

( 1 ) 1 1 y = f -- = ---− 2(k + 7) ⋅--− k − 7 = x ( x2 x ) k+ 7 1 2 = − --2--- − ------+ 2x + x x k + 7

(aby zobaczyć, że faktycznie liczby 1- x1 i -1 x2 są miejscami zerowymi funkcji ( ) y = f 1 x wystarczy podstawić do wzoru tej funkcji x = 1- x1 i x = -1 x2 ). Jak już zauważyliśmy, k ⁄= − 7 , więc liczby 1x- 1 i 1x2 są miejscami zerowymi funkcji w nawiasie: