Zestaw użytkownika nr 7772_3321

Zestaw użytkownika
nr 7772_3321

Zadanie 1

Wielomian W jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: W (3) = 1 oraz W (−3 ) = 2 . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

Zadanie 2

Wielomian 3 2004 W (x) = (2x + 3x − 6) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Zadanie 3

Wyznacz te argumenty, dla których funkcja 6 3 f(x) = x + 6x − 5 osiąga wartość najmniejszą.

Zadanie 4

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej x wartość wielomianu W (x) = x5 − 5x3 + 4x jest liczbą podzielną przez 120.

Zadanie 5

Wielomian 4 2 2005 W (x) = (x − 9x + 7) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Zadanie 6

Dana jest funkcja 3 f(x ) = x − 3x dla x ∈ (1,+ ∞ ) . Zbadaj na podstawie definicji monotoniczność tej funkcji w przedziale (1,+ ∞ ) .

Zadanie 7

Dane są wielomiany 3 2 W (x) = 2x − 3x − 8x − 3 i 2 P(x) = (x + 1 )(ax + bx + c) .

  • Wyznacz współczynniki a,b,c tak, aby W (x) = P (x) .
  • Przedstaw wielomian W (x) jako iloczyn wielomianów liniowych.
Zadanie 8

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = − 2x + kx + 4x − 8 .

  • Wyznacz wartość k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 1 była równa -6.
  • Dla znalezionej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
  • Dla znalezionej wartości k rozwiąż nierówność W (x + 1) ≤ − 3x 3 + 5x − 2 .
Zadanie 9

Wyznacz współczynniki a,b wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + bx+ 1 wiedząc, że dla każdego x ∈ R prawdziwa jest równość: W (x − 1) − W (x ) = − 3x2 + 3x − 6 .

Zadanie 10

Wielomian W dany jest wzorem 3 2 W (x) = x + ax − 4x + b .

  • Wyznacz a,b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P , gdy P (x) = x3 + (2a + 3)x 2 + (a + b + c)x − 1 .
  • Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Zadanie 11

Rozłóż wielomian 3 2 W (x ) = x + 3x − 2x − 6 na czynniki liniowe.

Zadanie 12

Korzystając z definicji funkcji rożnowartościowej wykaż, że funkcja f określona wzorem f(x) = x 3 + 2x − 3 jest rożnowartościowa.

Zadanie 13

Wyznacz zbiór wartości funkcji 3 f (x) = W (x )− x , gdzie 3 2 W (x ) = x + 5x + 5x − 3 .

Zadanie 14

Dla każdej liczby rzeczywistej x obliczamy różnicę sześcianów liczb: o 1 mniejszej od x oraz o 2 większej od x . Zapisz wzór otrzymanej w ten sposób funkcji i wyznacz jej wartość największą.

Zadanie 15

Sprawdź, czy równe są wielomiany 3 W 1(x) = (x + 2) − (2x + 3)(2x − 3) i
W 2(x) = (x− 5)(x2 + 1)+ 7x2 + 11x + 22 .

Zadanie 16

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = x − 5x − 9x + 45 .

  • Sprawdź, czy punkt A = (1,3 0) należy do wykresu tego wielomianu.
  • Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Zadanie 17

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 2x + ax − 14x+ b .

  1. Dla a = 0 i b = 0 otrzymamy wielomian W (x) = 2x 3 − 14x . Rozwiąż równanie 2x 3 − 14x = 0 .
  2. Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W (x) był podzielny jednocześnie przez x− 2 oraz x+ 3 .
Zadanie 18

Wielomiany 2 W (x ) = ax(x + b) i 3 2 V (x) = x + 2x + x są równe. Oblicz a i b .

Zadanie 19

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 10x + 15x + 7x + 1 .

  • Zapisz wielomian W (x) jako iloczyn wielomianów liniowych.
  • Określ dziedzinę funkcji ( ) f (x) = log (−x ) + log − W-(x) 3 3 x .
Zadanie 20

Wielomiany 2 W (x ) = ax(x + b) i 3 2 V (x) = x + 2x + x są równe. Oblicz a i b .

Zadanie 21

Sprawdź, czy równe są wielomiany 3 W 1(x) = (x + 2) − (2x + 3)(2x − 3) i
W 2(x) = (x− 5)(x2 + 1)+ 7x2 + 11x + 22 .

Zadanie 22

Dla każdej liczby rzeczywistej x obliczamy różnicę sześcianów liczb: o 1 mniejszej od x oraz o 2 większej od x . Zapisz wzór otrzymanej w ten sposób funkcji i wyznacz jej wartość największą.

Zadanie 23

Wyznacz zbiór wartości funkcji 3 f (x) = W (x )− x , gdzie 3 2 W (x ) = x + 5x + 5x − 3 .

Zadanie 24

Korzystając z definicji funkcji rożnowartościowej wykaż, że funkcja f określona wzorem f(x) = x 3 + 2x − 3 jest rożnowartościowa.

Zadanie 25

Dana jest funkcja 3 f(x ) = x − 3x dla x ∈ (1,+ ∞ ) . Zbadaj na podstawie definicji monotoniczność tej funkcji w przedziale (1,+ ∞ ) .

Zadanie 26

Dane są wielomiany 3 2 W (x) = 2x − 3x − 8x − 3 i 2 P(x) = (x + 1 )(ax + bx + c) .

  • Wyznacz współczynniki a,b,c tak, aby W (x) = P (x) .
  • Przedstaw wielomian W (x) jako iloczyn wielomianów liniowych.
Zadanie 27

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = − 2x + kx + 4x − 8 .

  • Wyznacz wartość k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 1 była równa -6.
  • Dla znalezionej wartości k rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
  • Dla znalezionej wartości k rozwiąż nierówność W (x + 1) ≤ − 3x 3 + 5x − 2 .
Zadanie 28

Wyznacz współczynniki a,b wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + bx+ 1 wiedząc, że dla każdego x ∈ R prawdziwa jest równość: W (x − 1) − W (x ) = − 3x2 + 3x − 6 .

Zadanie 29

Wielomian W dany jest wzorem 3 2 W (x) = x + ax − 4x + b .

  • Wyznacz a,b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P , gdy P (x) = x3 + (2a + 3)x 2 + (a + b + c)x − 1 .
  • Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Zadanie 30

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 2x + ax − 14x+ b .

  1. Dla a = 0 i b = 0 otrzymamy wielomian W (x) = 2x 3 − 14x . Rozwiąż równanie 2x 3 − 14x = 0 .
  2. Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W (x) był podzielny jednocześnie przez x− 2 oraz x+ 3 .
Zadanie 31

Przedstaw wielomian 4 3 2 W (x) = x − 2x − 3x + 4x − 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania Edytuj w kreatorze