Zadanie nr 3756900

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że √ - cos α = --3 3 . Przez środek krawędzi i środek krawędzi poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny SBC . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Otrzymany przekrój to oczywiście trapez o podstawach

KL = BC--= a- 2 2

i P Q . Z obliczeniem długości tej drugiej podstawy będzie trochę więcej zachodu – widać, że przyda się do tego podobieństwo trójkątów SPQ i SBC . Musimy też obliczyć wysokość trapezu i może od tego zacznijmy. Odcinek to połowa wysokości trójkąta równobocznego ABC , więc

1 a√ 3- a√ 3- DM = -⋅ -----= ----. 2 2 4

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny DMF .

MF a√ 3- √ 3- a co sα = ----- ⇒ MF = DM cosα = -----⋅----= -- DM ∘ ---------- 4√ -- 3 4 ∘ ------------- 3a2 a2 a 2 DF = DM 2 − MF 2 = ----− ---= ----. 16 16 4

Pozostało więc obliczyć długość podstawy P Q trapezu LP QK . Jak już wcześniej zauważyliśmy, zrobimy to korzystając z podobieństwa trójkątów SP Q i SBC , ale zanim będziemy mogli to zrobić, obliczmy długość odcinka . Patrzymy na trójkąt prostokątny SEM .

1 a√3- cosα = EM-- ⇒ SM = -EM-- = 3-⋅-2--= a-. SM co sα √1- 2 3

Tak naprawdę w tym miejscu okazało się, że trójkąt BSC jest połówka kwadratu z kątem prostym przy wierzchołku , ale mniejsza o to – w tym momencie nie ma to już wielkiego wpływu na dalsze rozwiązanie. Patrzymy teraz na trójkąty podobne SP Q i SBC .