Zadanie nr 9680760

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ ⟨0,2π ⟩ , które spełniają równanie

2 3 4 sin x + sin x + sin x + ⋅⋅⋅ = sinx + 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Lewa strona jest zbieżnym szeregiem geometrycznym o ile |sin x| < 1 , czyli sin x ⁄= 1 i sinx ⁄= − 1 . Mamy wtedy

2 -sin--x--= sin x + 1 1− sin x sin2x = (1− sin x)(1 + sinx ) = 1− sin 2x 2 1- sin x = 2 √ 2- √ 2- sinx = ---- ∨ sin x = − ---- 2 2

Szkicujemy teraz wykres sinusa.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie

{π π π π } x ∈ --,π − --,π + --,2π − -- { 4 4 }4 4 x ∈ π, 3π-, 5π-, 7π . 4 4 4 4

Odpowiedź: x ∈ { π-, 3π, 5π-, 7π} 4 4 4 4