Zadania/Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 342, strona 15

/Konkursy/Zadania

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sin α = 2 cos γsin β to trójkąt ten jest równoramienny.

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość i jest pięć razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 9.

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.

Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta jest styczna do obu okręgów w punktach i . Oblicz długość odcinka . Rozważ dwa przypadki.

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

Wykaż, że punkty A ,E i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej liczba 5 n − n jest podzielna przez 5.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba 7 n − n jest podzielna przez 7.

Wykaż, że

∘ -----√--- ∘ -----√----- ∘ ------√--- 4 − 2 3 + 8 − 2 15+ 14 − 6 5 = 2.

Dla jakich liczb naturalnych , liczba 2 n + 14n + 26 jest kwadratem liczby naturalnej?

Ukryj Podobne zadania

Dla jakich liczb naturalnych , liczba 2 n + 12n + 17 jest kwadratem liczby naturalnej?

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Ramiona kąta ostrego o mierze przecięto prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

Wykaż, że równanie 2 2 6x + 14 = 21y nie ma rozwiązań całkowitych.

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa .
Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa .
Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego –kąta.

Pole trapezu jest równe , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.