Zadanie nr 2186307
Trzy cięciwy okręgu o promieniu tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości i . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość .
Rozwiązanie
Jak zwykle zaczynamy od rysunku.
Robiąc go można zauważyć, że możliwe są dwie konfiguracje: gdy narysujemy już cięciwę długości to cięciwę długości możemy narysować na dwa sposoby – po dwóch stronach pierwszej z cięciw. Przypadki te różnią się tym, że w jednym z nich zaznaczony kąt jest ostry, a w drugim rozwarty. Na szczęście z założenia interesuje nas tylko pierwszy przypadek, bo w drugim najdłuższą z cięciw byłaby . To znacznie uprości rozwiązanie.
Sposób I
Długość trzeciego boku trójkąta obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, obliczmy funkcje trygonometryczne dwóch kątów trójkąta. Stosujemy twierdzenie sinusów.
Ponieważ, jak już zauważyliśmy z założenia jest największym kątem trójkąta , mamy stąd
Możemy teraz obliczyć – korzystamy ze wzoru na sinus sumy.
Stosujemy teraz twierdzenie sinusów.
Sposób II
Tym razem będziemy łączyć ze sobą twierdzenia sinusów i cosinusów. Z twierdzenia sinusów mamy
Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy
Sposób III
Pomysł jest taki, żeby obliczyć szukaną długość trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Aby to zrobić, potrzebujemy znać . Dokładnie tak samo jak I sposobie obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kątów i . To pozwala obliczyć – korzystamy ze wzoru na cosinus sumy.
Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów
Aby zakończyć dowód wystarczy teraz zauważyć, że