Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Recenzje

Na skróty

Polecamy

UBUNTU
cornersM
Login
Hasło
atom_news Informacje atom_zad Zadania

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań
Poziom trudności: Poziom:

Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 12(7n2 − n) . Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.

Wykaż, że jeżeli liczby  2 2 a ,b i  2 c tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby b+1c-,a1+c- i a+1b- również tworzą ciąg arytmetyczny.

*Ukryj

Liczby -1---1-- -1-- a+b,a+c ,b+c , gdzie (a + b)(a + c)(b + c) ⁄= 0 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że liczby a2,b2,c2 są również wyrazami ciągu arytmetycznego.

Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) dla każdego n ⁄= 1 określona jest wzorem Sn = 2n2 − 14n .

  • Wykaż, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
  • Wykaż, że jeżeli suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego n ≥ 1 określona jest wzorem  2 Sn = 2n − 1 4n + 1 , to ciąg ten nie jest arytmetyczny.
  • Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu (an) , aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.

Ciąg (an ) jest określony wzorem an = − 2n + 5 . Uzasadnij (na podstawie definicji) że ciąg (an) jest arytmetyczny.

*Ukryj

Wykaż, że ciąg o wzorze ogólnym an = − 2+ 1 4n , gdzie n ≥ 1 , jest ciągiem arytmetycznym.

Wykaż, że ciąg o wzorze ogólnym an = 12n − 4 , gdzie n ≥ 1 , jest ciągiem arytmetycznym.

Dana jest funkcja określona wzorem f(x) = 3x − 5 .

  • Wyznacz ogólny wyraz ciągu an wiedząc, że:
    a1 = f(2), a 2 = f(4), a3 = f(6),...,an = f(2n),....
  • Uzasadnij, że ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
  • Oblicz sumę a50 + a51 + ⋅ ⋅⋅+ a60 .

Wykaż, że liczby  √ -- √ -- a = 3 − 3 2 ,  ∘ -----√--- b = 5 − 2 6 i  ---1--- c = √3− √2 są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Dwie dowolne liczby rzeczywiste i ich suma tworzą ciąg arytmetyczny (niekoniecznie w takiej kolejności). Wykaż, że jedna z tych liczb jest dwukrotnością drugiej liczby lub, że liczby te są liczbami przeciwnymi.

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 są ciągami arytmetycznymi. Wykaż, że jeżeli ciąg (cn) zdefiniowany wzorem cn = an ⋅bn (n ≥ 1 ) jest ciągiem arytmetycznym, to różnica jednego z ciągów (an) lub (bn) jest równa zeru.

Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi równość S 3n = 3(S2n − Sn) , gdzie Sk oznacza sumę k początkowych wyrazów ciągu.

Udowodnij, że jeżeli liczby a1,a2,...,an , gdzie n ≥ 2 , tworzą ciąg arytmetyczny i żadna z nich nie jest zerem, to

-1--+ --1--+ ⋅⋅⋅ + ---1--- = n-−--1. a1a2 a2a3 an− 1an a1an

Ciąg (an ) dla n ≥ 1 jest ciągiem arytmetycznym oraz Sn = a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an dla n ≥ 1 . Wykaż, że jeżeli spełniony jest warunek  2 Sn+1= (n+12)- Sn n dla n ≥ 1 , to spełniony jest również warunek an+-1 2n+1- an = 2n−1 .

Wykaż, że jeżeli żadne dwie spośród liczb a,b,c nie są równe oraz liczby (a − b)2,(b − c)2 i (c− a)2 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby b1−a,c−1b- i --1- a−c również tworzą ciąg arytmetyczny.

Wykaż, że dla każdego m ciąg (m-+1 m+3- m+9-) 4 , 6 , 12 jest arytmetyczny.

*Ukryj

Wykaż, że dla każdego m ciąg (m-+1 m+2- m+7-) 3 , 5 , 15 jest arytmetyczny.