Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność . Wykaż, ze .
/Szkoła średnia/Ciągi
Ciągi i , gdzie , są ciągami arytmetycznymi. Ciąg jest określony wzorem , dla , a ciąg ciągiem różnic dwóch kolejnych wyrazów ciągu : , dla . Wykaż, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica jest równa podwojonemu iloczynowi różnic ciągów i .
Wyraz ogólny ciągu dany jest wzorem , gdzie .
- Który wyraz ciągu równa się ?
- Ile wyrazów danego ciągu należy do przedziału ?
- Które wyrazy tego ciągu przyjmują wartości całkowite?
Liczby i tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny i są trzema początkowymi wyrazami czterowyrazowego ciągu . Oblicz czwarty wyraz ciągu , wiedząc że liczby i są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
Kulę o promieniu przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Przekroje mają promienie oraz i są odległe od siebie o . Liczby w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 18. Znajdź długość promienia kuli.
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, w którym oraz wyrażanie ma najmniejszą możliwą wartość. Wyznacz .
Wyznacz te wartości , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Dla jakich wartości i liczby oraz są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?
Dla jakich wartości i liczby oraz są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym iloraz jest dwa razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Wyznacz liczby oraz , dla których ciąg jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Ciąg jest arytmetyczny, natomiast ciąg jest geometryczny. Oblicz oraz i podaj ten ciąg geometryczny.
Ciąg jest arytmetyczny, natomiast ciąg jest geometryczny. Oblicz oraz i podaj ten ciąg geometryczny.
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Podstawy czterech logarytmów liczby tworzą ciąg geometryczny o ilorazie . Wyznacz pierwszy z tych logarytmów jeśli jest on mniejszy od -1 oraz suma dwóch pierwszych logarytmów jest równa sumie dwóch pozostałych
Długości boków trójkąta , , (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyraź w procentach jaką część wysokości trójkąta poprowadzonej na bok długości stanowi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Oblicz granicę .
Wykaż, że jeżeli liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Ilorazem tego ciągu jest liczba , a iloczyn 5 początkowych wyrazów tego ciągu: , , , , jest równy .
- Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
- Oblicz sumę pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu.
Wyznacz wyraz ogólny ciągu geometrycznego , w którym oraz .
Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.
Suma czterech początkowych wyrazów ciągu określonego dla jest równa . Ponadto dla każdej liczby całkowitej spełniony jest warunek . Oblicz nieskończoną sumę
Liczby , i tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te wartości , dla których ciąg ten jest rosnący.