Wyznacz wszystkie liczby całkowite , gdzie , dla których liczba jest liczbą naturalną.
/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite
Liczby i są nieparzyste i dają przy dzieleniu przez 4 różne reszty. Wykaż, że suma kwadratów tych liczb nie jest podzielna przez 4.
Reszta z dzielenia liczby przez 3 jest równa 2. Reszta z dzielenia liczby przez 3 jest równa 1. Wykaż, że różnica kwadratów liczb i jest podzielna przez 3.
Reszta z dzielenia liczby przez 4 jest równa 3. Reszta z dzielenia liczby przez 4 jest równa 1. Wykaż, że różnica kwadratów liczb i jest podzielna przez 4.
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3 jest równa 2.
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych nieparzystych liczb naturalnych przez 16 jest równa 4.
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 4 jest równa 2.
Udowodnij, że reszta z dzielenia sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3, przy dzieleniu przez 18 jest równa 5.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej.
Dane są takie liczby całkowite i , że liczba jest podzielna przez 5. Wykaż, że liczba jest podzielna przez 5.
Dane są takie liczby całkowite i , dla których liczba jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 6. Wykaż, że liczba
dzieli się przez 4.
Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 5, to daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1.
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych nigdy nie jest liczbą podzielną przez 3.
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych nigdy nie jest liczbą podzielną przez 3.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez 6.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez 6.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez 6.
Udowodnij, że jeśli i są liczbami naturalnymi oraz , to .
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 9.
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.
Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez 5.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez 7.
Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań całkowitych.
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej , liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
Uzasadnij, że jeżeli jest liczbą całkowitą to liczba też jest liczbą całkowitą.