Zadania na ekstremum/Geometria analityczna - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 6x2−72x+210 f(x ) = x2−12x+36 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

Prosta , na której leży punkt A = (2,5) , przecina parabolę o równaniu y = x2 w dwóch różnych punktach B = (x1,y1) i C = (x2,y2) . Oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej , przy której suma y1 + y2 osiągnie wartość najmniejszą.

Dane są punkty A = (1,5), B = (9,3) i prosta o równaniu y = x+ 1 . Oblicz współrzędne punktu leżącego na prostej , dla którego suma |AC |2 + |BC |2 jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na prostej o równaniu y = 2x − 3 , którego suma kwadratów odległości od punktów A = (1,1) i B = (5 ,0) jest najmniejsza.

Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3,− 2), B = (11,4) . Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt , dla którego suma |AP |2 + |BP |2 jest najmniejsza.

Na prostej o równaniu x− y− 4 = 0 znajdź punkt , którego kwadrat odległości od punktu A(1,1 ) jest najmniejszy.

Ukryj Podobne zadania

Na prostej o równaniu y = −x wyznacz współrzędne punktu leżącego najbliżej punktu K = (5;2) .

Na prostej o równaniu y = x wyznacz współrzędne punktu leżącego najbliżej punktu K = (− 1;7) .

Na prostej y = − 3x+ 2 wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji 2 y = 7x− x − 15 , dla którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Dany jest ciąg punktów (Pn) na płaszczyźnie, których współrzędne dane są wzorem Pn = (n, 23n 2 − 3n + 3) , gdzie n ≥ 1 . Wyznacz tę wartość , dla której odległość punktu od prostej y = 8x − 50 jest najmniejsza z możliwych.

Dane są punkty A = (3,1) i B = (− 1,4) oraz prosta o równaniu y = − 2x+ 1 . Wyznacz taki punkt prostej , aby suma kwadratów boków trójkąta ABC była najmniejsza możliwa. Oblicz tę najmniejszą sumę kwadratów długości boków.

Który z odcinków łączących dowolny punkt paraboli o równaniu 2 y = x z punktem A = (10;2) ma najmniejszy kwadrat długości?

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz te punkty paraboli 2 y = x − 4x + 5 , które znajdują się najbliżej punktu ( ) A = 2 , 52 . Oblicz tę najmniejszą odległość.

Rozpatrujemy prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki leżą na osi , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem y = 94x2 + 1 , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji √ -- f(x ) = x określonej dla x ≥ 0 . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji f (x) = − 23 ⋅x12 − 1 określonej dla x ⁄= 0 . Punkt ma współrzędne (1,1) , a oś jest osią symetrii tego trapezu (zobacz rysunek).

Oblicz obwód tego trapezu ABCD , którego pole jest najmniejsze możliwe.

Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi , a pozostałe dwa należą do paraboli o równaniu f(x) = 4− x 2 i znajdują się powyżej osi .

Podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego podstawy.
Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6.
Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe?

Dana jest parabola opisana równaniem 2 y = (x − 3) + 1 . Tworzymy trójkąty ABC takie, że punkt leży w początku układu współrzędnych, punkt o współrzędnych (xb ,yb ) leży na paraboli, punkt ma współrzędne (xb,0) .

Napisz wzór funkcji , określającej pole trójkąta w zależności od dla .
Znajdź trójkąt o największym polu dla ; w odpowiedzi podaj współrzędne punktu .

Na paraboli o równaniu 2 y = x + 6x + 5 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x − 1 3 jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Na paraboli o równaniu 2 y = x − 4x + 3 wyznacz punkt, którego odległość od prostej y = − 2x − 5 jest najmniejsza.

Dany jest trójkąt ABC , w którym A = (− 2,2) i B = (2,1) . Wierzchołek leży na prostej o równaniu y = 2x + 4 . Wyznacz współrzędne wierzchołka , dla którego suma kwadratów długości boków trójkąta jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC , w którym A = (− 2,− 2) i B = (2 ,1) . Wierzchołek leży na prostej o równaniu y = 2x − 3 . Wyznacz współrzędne wierzchołka , dla którego suma kwadratów długości boków trójkąta jest najmniejsza.

Wyznacz wartość parametru , dla której odległość punktu 2 P = (m ,3m − 1) od prostej y = x + 2 jest najmniejsza możliwa.

Rozważamy trójkąty ABC , w których A = (0,0), B = (m ,0) , gdzie m ∈ (4,+ ∞ ) , a wierzchołek leży na prostej o równaniu y = − 2x . Na boku tego trójkąta leży punkt D = (3,2) .

Wykaż, że dla pole trójkąta , jako funkcja zmiennej , wyraża się wzorem
$2 P (m ) = -m---- m − 4$
Oblicz tę wartość , dla której funkcja osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej , przy której funkcja osiąga tę najmniejszą wartość.

Na przedziale [− 1,7] określono dwie funkcje: √ ------- f(x ) = 2x + 2 i √ --------- g (x) = − 18x + 1 8 . Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji , a wierzchołki i leżą na wykresie funkcji . Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne wierzchołków tego z rozpatrywanych trapezów, w którym |CD | > |AB | , i który ma największe możliwe pole. Oblicz to największe pole. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka trapezu ABCD jest równa 7, a druga współrzędna wierzchołka jest równa , to pole trapezu wyraża się wzorem

P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.

Znajdź taki punkt leżący na prostej o równaniu x = 0 , z którego odcinek , gdzie A = (4,0) , B = (28,0) , widać pod możliwie największym kątem. Wyznacz ten kąt.

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f (x) = 271x4 dla x ⁄= 0 . Punkty i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem g(x) = − 2x4 − 7 5 9 i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka , dla którego pole prostokąta ABCD jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Strona 1 z 3