Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 3

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do prostej tak, że należy do , należy do oraz |MN | = |AM |+ |BN | . Oblicz |MN | , jeśli |AB | = c , a miary kątów trójkąta przy boku wynoszą oraz .

Gwiazda, pokazana na rysunku obok, utworzona jest z 12 identycznych trójkątów równobocznych. Obwód gwiazdy jest równy 36 cm. Ile jest równy obwód zacieniowanego sześciokąta?

A) 6 cm B) 12 cm C) 18 cm D) 24 cm E) 30 cm

Udowodnij, że jeżeli a > 0 to dla wszystkich x ∈ R spełniona jest nierówność ax + a−x ≥ 2 .

Na rysunku obok mamy trzy początkowe układanki. Ile jest potrzebnych białych kwadracików jednostkowych, aby ułożyć dziesiątą układankę w tym ciągu?

A) 76 B) 80 C) 84 D) 92 E) 100

Spośród trójkątów równoramiennych o ramionach długości 7 i podstawie, której długość wyraża się liczbą całkowitą, wybieramy trójkąt o największym obwodzie. Obwód ten jest równy
A) 14 B) 15 C) 21 D) 27 E) 28

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Malarz chcąc rozjaśnić 20 litrów granatowej farby postąpił w następujący sposób: odlał jeden litr farby i dolał 1 litr farby białej, a potem całość dokładnie wymieszał. Procedurę tę powtórzył w sumie 8 razy. Ile litrów granatowej farby pozostało w otrzymanej mieszaninie? Wynik podaj z dokładnością do 1 litra.

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.

Ile z poniższych działań ma wartość różną od 6?

2− (−4 ), (− 2)⋅(− 3), 2− 8, 0 − (− 6), (− 12) : (− 2)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5

Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, które można napisać przy użyciu cyfr 1,2 i 3 tak, aby każde dwie sąsiednie cyfry w ich zapisach różniły się o jeden?
A) 16 B) 32 C) 64 D) 80 E) 100

Rozłożono 100 cukierków na 5 talerzach.
Na 1 i 2 talerzu znalazły się łącznie 52 cukierki,
na 2 i 3 talerzu 43 cukierki,
na 3 i 4 talerzu 34 cukierki,
na 4 i 5 talerzu 30 cukierków.
Ile cukierków znajdowało się na każdym talerzu?

Jakim procentem liczby elementów zboru 1,2,3,4,...,10000 jest liczba tych jego elementów, które są kwadratami liczb naturalnych?
A) 1% B) 5% C) 10% D) 50% E) 0,1%

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

Różnica

2 2 2 2 (1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅+ 2005 ) − (1 ⋅3+ 2⋅4 + 3 ⋅5 + ⋅⋅⋅+ 2004 ⋅2006 )

jest równa
A) 2000 B) 2004 C) 2005 D) 2006 E) 0

Niech i będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś i długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Ile jest liczb 2008–cyfrowych, których każde dwie kolejne cyfry tworzą liczbę podzielną przez 17 lub przez 23?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) Więcej niż 9

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

Każda z liczb 257,338 ma tę własność, że jeśli jej cyfry zapiszemy w odwrotnej kolejności, to otrzymamy liczbę od niej większą. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych o tej własności?
A) 124 B) 252 C) 280 D) 288 E) 360

W trójkącie równoramiennym ABC długość dwusiecznej kąta przy wierzchołku jest równa długości podstawy . Ile jest równa miara kąta CDA ?
A) 90∘ B) 100∘ C) ∘ 10 8 D) ∘ 120 E) Nie da się tego rozstrzygnąć

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy