Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

Wyszukiwanie zadań

W trójkącie ABC na boku AB wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio AC i BC . Proste te przecięły się w punkcie S . Wykaż, że odcinek CS jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym ∘ 60 ma długość √ -- 3 7 . Różnica długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej przekątnej.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w odległości 3 cm i 2 cm od przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta.

Dwa styczne zewnętrznie okręgi o środkach A i B są styczne wewnętrznie do okręgu o(C ,4) , przy czym punkty A ,B,C nie są współliniowe. Oblicz obwód trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Dane dwa okręgi o środkach B i C są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie A . Wiedząc, że |BC | = |AC | oraz promień okręgu o środku C ma długość rc = 3 oblicz długość odcinka AB .

PIC

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10 jest styczny do boków AC i BC w punktach D i E . Proste DE i AB przecinają się punkcie F . Oblicz pole trójkąta EBF .

Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach |AB | = 8 i |AD | = 6 wybrano dwa punkty M i N takie, że MN ∥ AB oraz |AM | = |DM | = |NB | = |NC | . Przy jakiej odległości punktów M i N suma kwadratów długości odcinków AM ,DM ,MN ,NB ,NC jest najmniejsza?

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe.

  • Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
  • Wykaż, że jeżeli długości jego boków AB ,BC ,CD ,DA są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.

Wykaż, że jeżeli dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego są prostopadłe, to czworokąt ten jest trapezem.

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

PIC

Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE | = 2|DF | . Oblicz wartość x = |DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty P i Q , takie, że długość odcinka |PC | = |QD | = x (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość x , dla której pole trójkąta AP Q osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

PIC

Kwadrat K1 ma bok długości a . Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K 2,K3,K 4,... takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek).

PIC

Wyznacz pole kwadratu K 12 .

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α . Oblicz sinα ⋅cos α .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 1 i 3, a jeden z kątów ostrych ma miarę α . Oblicz wartość wyrażenia sin α + cos α .

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, a jeden z kątów ostrych ma miarę α . Oblicz wartość wyrażenia sin α + cos α .

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 5, a jeden z kątów ostrych ma miarę α . Oblicz sin α ⋅cosα .

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości |BC | = 6,|AC | = 2 . Wyznacz wartość wyrażenia W = sin α + cos α , gdzie α jest najmniejszym kątem ostrym tego trójkąta.

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe √ -- 9 3 . Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC – odpowiednio – w punktach K i L . Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 3 2 . Oblicz długość boku trójkąta AKL .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe √ -- 1 2 3 . Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC – odpowiednio – w punktach K i L . Stosunek obwodów trójkątów ABC i AKL jest równy 43 . Oblicz długość boku trójkąta AKL .

W trójkącie rozwartokątnym ABC o kącie rozwartym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD i otrzymano równoramienny trójkąt ACD . Długości boków AB i AC są odpowiednio równe √ -- |AB | = 4(1+ 3) i √ -- |AC | = 4 2 . Oblicz pole powierzchni koła opisanego na trójkącie ABC .

Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest równoległy do podstawy AB i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB |2 |AB |⋅|P Q | --------------------. 2(|AB |− |P Q |)

Punkty K i M oraz L i N dzielą odpowiednio boki AC i BC trójkąta ABC w stosunku 1 : 1 : 2 (zobacz rysunek). Odcinki KN i LM przecinają się w punkcie S .

PIC

Uzasadnij, że pola trójkątów KMS i LNS są równe.

W trójkącie ABC , w którym √ -- |AC | = 5,|BC | = 4 2 i |AB | = 7 na boku AB wybrano taki punkt D , że |AD | = 2 . Oblicz sinus kąta ADC .

W trapezie prostokątnym ABCD krótsze ramię AD i krótsza podstawa CD mają tę samą długość oraz |∡ABC | = 30∘ . Na podstawie AB wybrano punkt E tak, że |∡AED | = 60∘ oraz |AE | = 2 (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka BE .

PIC

Na okręgu o promieniu 5 opisano deltoid o obwodzie 60. Oblicz pole deltoidu.

W trójkącie prostokątnym ABC ( ∘ |∡ACB | = 90 , |BC | < |AC | ) poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek C trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie D , takim, że |AD | : |DB | = 2 : 1 . Oblicz długość przeciwprostokątnej jeśli |BC | = √ 3- i |∡DCB | = 3 0∘ .

Strona 21 z 55